Бесплатный сыр бывает только в мышеловке. Не стоит с этим вариантом связываться. Риски непредсказуемы, а подстраховаться невозможно.

Такую квартиру с 70% дисконтом,не купил бы.

"Продавец объясняет, что с покупкой 3/8 доли гарантируется овладение полностью всей квартирой" - продавец врет, причем сознательно. пользование (не владение!!) всей квартирой возможно - до тех пор, пока не появится кто-то, претендующий на какие-то из оставшихся 5/8. наследники, например. восстановить вступление в наследство через суд можно и позже чем через 10 лет. а кроме того, вы ведь не видели свидетельства о смерти, знаете только со слов продавца что умерли они якобы давно. а если нет?.. и вот тогда начнется самое интересное )) ;
если идти конкретно по вопросам, то:
1 - да, сложно. муниципалитеты очень неохотно идут на признание выморочным имуществом всяких долек и огрызков, им это просто неинтересно. можно заставить их этим заниматься, конечно, найдя неформальные подходы. но смысл?;
2 - ничего не сделать;
3 - выплачиваются муниципалитету, который продает их на торгах;
4 - ситуация не просто сложная, а тупиковая. покупать имеет смысл только в том случае, если сумма покупки для вас не критичная и вы четко осознаете тот факт, что выплаченные деньги вы просто можете безвозвратно потерять.
при том, что никакой нотариус не проведет сделку купли-продажи (а сделка с долями всегда идет через нотариуса), поскольку невозможно соблюсти требования ст.250 гк рф. это означает, что продавец вам предложит схематоз через дарение, то есть доказательства передачи денег у вас не будет и вам, в случае чего, даже в суд пойти будет не с чем.

на авторынке есть прямой аналог такой истории - "автомобиль на вечном учете", может слышали. купить можно, пользоваться (теоретически) можно, но - до первого мента. дальше "или башляй, или гуляй"(с). многие покупают такие - на даче, например, ездить на рыбалку на ближайшее озеро, или за водкой на шашлыках. но купить и пользоваться полноценно - об этом речи не идет.
с вашей долькой абсолютно та же история. купить (точнее, отдать неофициально деньги за дарение) вы можете. пользоваться всей квартирой тоже можете. но продать ее кому-то еще - уже не сможете. и если появится кто-то из пятерых потенциальных содольщиков, тоже будете обязаны смириться с этим фактом и весело соседствовать с ним.

ps к слову вот https://www.cian.ru/forum-rieltorov-najti-sobstvennika-i-vykupit-19-dolju-domovladenija-nuzhny-sovety-332001/ , в чем-то схожий вопрос обсуждался тремя постами ниже

Если Вы самостоятельно в этом не разбираетесь , не стоит. Если же, простите за жаргонизм «плавали-знаем» - то все может быть. Нужно проводить целое расследование по истории каждой 1/8. Где-то возможны тупики в поисках, поэтому совет исходя из вопроса - ситуация очень сложная, стоит, если умеете.

PS вопрос напомнил рассказ А.Кристи про 10 негритят.

Через суд выкупить ничего нельзя, если не известно у кого выкупать. Суд ведь тоже не панацея....
А признание выморочным имуществом - процесс на годы.
Если б все было так просто , как уверяет продавец 3/8, неужели бы он эту проблему не решил заранее до продажи.....
Вам предлагают план-капкан